NWERC2020 A.Automic Engery【动态规划】

题目

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动态规划 数论

题意

给你 个原子，第 个原子有 个中子，以及由 的能量。

接下来由 次询问，每次输入一个 ，表示有 个中子的原子。

  • 若 ，则释放对应原子的能量 ；
  • 若 则会分裂成若干原子，每次分裂只会分裂出两个原子，分裂后只有满足 的原子会继续分裂，以此类推，使分裂后的每个原子的中子数小于 时结束。

求最小能量。

题解

首先不难想到贪心，若 足够大，刚开始的几次一定是选择性价比比较好的，即 尽可能小的。

但硬贪一定是有问题的，原因主要是当分裂后原子的中子数小于 ，就不会继续分裂。这就有可能存在继续贪下去得到的是局部最优解而非全局最优解。

中子数为 ， 求所能获得的最小能量，不难想到这是一个背包问题。所以，设某次分裂后原子的中子数为 ， ，且有 ， ，对于剩下的 就贪心处理。

对于 的范围，我们要用到鸽巢原理的推论： 个数一定存在某个区间的和能 整除。

假设我们得到性价比最好的中子数为 ，选出 个原子去消去，每个的原子的最大中子数为 ，又因为最后一次分裂还有两个原子，所以预处理的区间为 。

时间复杂度为 。

参考代码

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#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;

int n, q, k, p;
ll ans, num;
ll a[N];
ll dp[N];
double mn = 1.0 * 0x3f3f3f3f;

int main() {
    cin >> n >> q;
   	for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        if (1.0 * a[i] / i < mn) {
            mn = 1.0 * a[i] / i;
            p = i;
        }
    }
    
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for (int i = n+1; i <= n * 2; i++) { //预处理区间[n+1, n*2]，都由两个数之和转移而来 
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (i - j <= n) dp[i] = min(dp[i], a[i-j] + a[j]);
        }
    }
    for (int i = n+1; i <= n * (n+1); i++) { 
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (i - j > n) dp[i] = min(dp[i], dp[i-j] + a[j]);
        }
    }
    
    while (q--) {
        cin >> k;
        if (k <= n) {
            cout << a[k] << endl;
        } else {
            if (k > n * (p+1)) { // k - num * p ∈ [1, (p-1) * n] (num ∈ N)
                num = (k - n * (p+1) + p - 1) / p; // 整除向上取整
                ans = num * a[p] + dp[k - num * p];
                cout << ans << endl;
            } else {
                cout << dp[k] << endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}