CF1670 F.Jee, You See?【动态规划】

题目链接:codeforces 1670F

题解

首先,对于 sum,有 根据前缀的思想,所以得到 ans = sum[r] - sum[l-1]

于是问题转化为和为 sum 的情况下异或和等于 z 的方案数。

不难想到,当 z 的某位上为 时,说明这个位置上的 1 的个数为奇数,反之,则为偶数。

定义 dp[i][j] 为前 i 位且第 i 位上 的剩余个数为 j 的方案数。

定义状态转移方程为 dp[k][t] += dp[k+1][min(n, y - t)] * C[n][t],其中y 是当前位 的个数的最大值。于是可以理解为前 k 位且第 k 位上 的剩余个数为 t 的状态前 k+1 位且第 k+1 位上 的剩余个数为 min(n, y-t) 的状态转移而来。

为什么是 min(n, y-t) 呢?

因为当 的个数超过 n 个时,超过的部分对我们的答案不影响,所以取最小值处理。

那么如何得到这个 y 的值呢?

z 的当前位为 c,枚举 的个数 x,有 枚举 t 时,要注意遍历范围和增幅。

参考代码

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#include <algorithm>
#include <array>
#include <bitset>
#include <cassert>
#include <chrono>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <random>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <string>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>
using namespace std;

using ll = long long;
using ld = long double;
using uint = unsigned int;
using ull = unsigned long long;
template <typename T>
using pair2 = pair<T, T>;
using pii = pair<int, int>;
using pli = pair<ll, int>;
using pll = pair<ll, ll>;
//-----------------------precompiler--------------------
mt19937_64 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
ll myRand(ll B) { return (ull)rng() % B; }

#define FAST \
ios::sync_with_stdio(false); \
cin.tie(0), cout.tie(0)
#define endl '\n'
#define debug(x) cout << #x << ' ' << '=' << ' ' << (x) << endl
#define abs(a) ((a) >= 0 ? (a) : -(a))
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i <= n; ++i)
#define per(i, n, a) for (int i = n; i >= a; --i)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
//-----------------------constant-----------------------
const int MAXN = 1e3 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double EPS = 1e-7;
const double PI = acos(-1.0);
const int MOD = 1e9 + 7;
//-----------------------template-----------------------
template <uint mod = MOD>
struct mint {
uint x;

mint() : x(0) {}
mint(ll _x) {
_x %= mod;
if (_x < 0) _x += mod;
x = _x;
}

mint &operator+=(const mint &a) {
x += a.x;
if (x >= mod) x -= mod;
return *this;
}
mint &operator-=(const mint &a) {
x += mod - a.x;
if (x >= mod) x -= mod;
return *this;
}
mint &operator*=(const mint &a) {
x = (ull)x * a.x % mod;
return *this;
}
mint pow(ll pw) const {
mint res = 1;
mint cur = *this;
while (pw) {
if (pw & 1) res *= cur;
cur *= cur;
pw >>= 1;
}
return res;
}
mint inv() const {
assert(x != 0);
uint t = x;
uint res = 1;
while (t != 1) {
uint z = mod / t;
res = (ull)res * (mod - z) % mod;
t = mod - t * z;
}
return res;
}
mint &operator/=(const mint &a) { return *this *= a.inv(); }
mint operator+(const mint &a) const { return mint(*this) += a; }
mint operator-(const mint &a) const { return mint(*this) -= a; }
mint operator*(const mint &a) const { return mint(*this) *= a; }
mint operator/(const mint &a) const { return mint(*this) /= a; }

bool sqrt(mint &res) const {
if (mod == 2 || x == 0) {
res = *this;
return true;
}
if (pow((mod - 1) / 2) != 1) return false;
if (mod % 4 == 3) {
res = pow((mod + 1) / 4);
return true;
}
int pw = (mod - 1) / 2;
int K = 30;
while ((1 << K) > pw) K--;
while (true) {
mint t = myRand(mod);
mint a = 0, b = 0, c = 1;
for (int k = K; k >= 0; k--) {
a = b * b;
b = b * c * 2;
c = c * c + a * *this;
if (((pw >> k) & 1) == 0) continue;
a = b;
b = b * t + c;
c = c * t + a * *this;
}
if (b == 0) continue;
c -= 1;
c *= mint() - b.inv();
if (c * c == *this) {
res = c;
return true;
}
}
assert(false);
}

bool operator==(const mint &a) const { return x == a.x; }
bool operator!=(const mint &a) const { return x != a.x; }
bool operator<(const mint &a) const { return x < a.x; }
};
template <uint mod = MOD>
struct Factorials {
using Mint = mint<mod>;
vector<Mint> f, fi;

Factorials() : f(), fi() {}
Factorials(int n) {
n += 10;
f = vector<Mint>(n);
fi = vector<Mint>(n);
f[0] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] * i;
fi[n - 1] = f[n - 1].inv();
for (int i = n - 1; i > 0; i--) fi[i - 1] = fi[i] * i;
}

Mint C(int n, int k) {
if (k < 0 || k > n) return 0;
return f[n] * fi[k] * fi[n - k];
}
};
template <uint mod = MOD>
struct Powers {
using Mint = mint<mod>;
vector<Mint> p, pi;

Powers() : p(), pi() {}
Powers(int n, Mint x) {
n += 10;
if (x == 0) {
p = vector<Mint>(n);
p[0] = 1;
} else {
p = vector<Mint>(n);
pi = vector<Mint>(n);
p[0] = pi[0] = 1;
Mint xi = x.inv();
for (int i = 1; i < n; i++) {
p[i] = p[i - 1] * x;
pi[i] = pi[i - 1] * xi;
}
}
}

Mint pow(int n) {
if (n >= 0)
return p[n];
else
return pi[-n];
}
};
template <uint mod = MOD>
struct Inverses {
using Mint = mint<mod>;
vector<Mint> ii;

Inverses() : ii() {}
Inverses(int n) {
n += 10;
ii = vector<Mint>(n);
ii[1] = 1;
for (int x = 2; x < n; x++) ii[x] = Mint() - ii[mod % x] * (mod / x);
}

Mint inv(Mint x) {
assert(x != 0);
uint t = x.x;
uint res = 1;
while (t >= (int)ii.size()) {
uint z = mod / t;
res = (ull)res * (mod - z) % mod;
t = mod - t * z;
}
return ii[t] * res;
}
};
using Mint = mint<>;
//-----------------------variable-----------------------
ll n, l, r, z;
Mint C[MAXN][MAXN];
Mint dp[62][MAXN]; // 第i位剩余j个1可以填到当前位
//-----------------------function-----------------------
Mint solver(ll n, ll r, ll z) {
mem(dp, 0);
dp[61][0] = 1;
for (int k = 60; k >= 0; k--) { // 从低位开始枚举
int c = (z >> k) & 1; // 当前位的01情况
for (int x = 0; x <= n; x++) {
if (dp[k + 1][x] == 0) continue;
int y = 2 * x + ((r >> k) & 1);
for (int t = c; t <= y && t <= n; t += 2) { // 枚举当前为1的个数
dp[k][min(n, y - t)] += dp[k + 1][x] * C[n][t];
}
}
}
Mint res = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
res += dp[0][i];
}
return res;
}
int main() {
#ifdef LOCAL
clock_t TIME = clock();
freopen("G:\\Cworkspace\\data\\in.txt", "r", stdin);
freopen("G:\\Cworkspace\\data\\out.txt", "w", stdout);
#endif

//*********************************YounGCY*******************************//
//预处理组合数
for (int i = 0; i < MAXN; i++) C[i][i] = C[i][0] = 1;
for (int i = 0; i < MAXN; i++)
for (int j = 0; j < i; j++) C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];

cin >> n >> l >> r >> z;

cout << (solver(n, r, z) - solver(n, l - 1, z)).x << endl;
//*********************************YounGCY*******************************//

#ifdef LOCAL
TIME = clock() - TIME;
cout << "Time execute: " << TIME << " ms." << endl;
fclose(stdin);
fclose(stdout);
#endif
return 0;
}